Ein Boot, das nach Norden fährt, überquert einen breiten Fluss mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h relativ zum Wasser und hat 5 km/h genau nach Osten. Wie groß ist die Geschwindigkeit in Bezug auf einen stationären Bodenbeobachter?

Die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum stationären Bodenbeobachter kann durch Vektoraddition ermittelt werden. Wir können die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Wasser als Vektor \(\overrightarrow{v_b}\) der Größe 10 km/h bei einem Winkel von 0° darstellen (da das Boot nach Norden fährt). Die Geschwindigkeit des Wassers relativ zum Boden kann als Vektor \(\overrightarrow{v_w}\) der Größe 5 km/h in einem Winkel von 90° dargestellt werden (da das Wasser nach Osten fließt).

Um die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Boden zu ermitteln, addieren wir die beiden Vektoren:

$$\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_w}$$

Mithilfe des Kosinusgesetzes können wir die Größe des resultierenden Vektors ermitteln:

$$v =\sqrt{v_b^2 + v_w^2 + 2v_bv_w\cos\theta}$$

wobei \(\theta\) der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Wenn wir die angegebenen Werte ersetzen, erhalten wir:

$$v =\sqrt{10^2 + 5^2 + 2(10)(5)\cos90°}$$

$$v =\sqrt{100 + 25 + 0}$$

$$v =\sqrt{125}$$

$$v =11,18 \text{ km/h}$$

Um den Winkel des resultierenden Vektors zu ermitteln, können wir das Sinusgesetz verwenden:

$$\sin\theta =\frac{v_w\sin\theta}{v}$$

Wenn wir die angegebenen Werte ersetzen, erhalten wir:

$$\sin\theta =\frac{5\sin90°}{11,18}$$

$$\sin\theta =\frac{5}{11.18}$$

$$\theta =\sin^{-1}\left(\frac{5}{11.18}\right)$$

$$\theta =26,57°$$

Daher beträgt die Geschwindigkeit des Bootes in Bezug auf den stationären Bodenbeobachter 11,18 km/h bei einem Winkel von 26,57° nördlich von Ost.